Sistemas numericos unidad V

Sistemas numéricos posiciónales en bases 2, 8 y 16

Intro. a la computacion

Prof. Patricia Obregon

A lo largo de la historia la humanidad ha utilizado muy diversos métodos para escribir números, los romanos, egipcios y babilonios utilizaban sistemas de escritura que suelen llamarse aditivos, en estos sistemas el valor de un numero es la suma de los valores de cada uno de los dígitos que lo componen, por ejemplo XXVI en romano es un 26, es decir dos veces 10 (X), mas 5 (V), mas uno (I). Un símbolo “V” en cualquier parte de un numero romano siempre vale 5 unidades.

A diferencia de los sistemas numéricos aditivos, en los sistemas posiciónales el valor de cada digito depende de su posición dentro del numero donde aparece. El sistema numérico posiciona mas conocido es, por supuesto, nuestro usual sistema indo arábigo. Como nos lo dijeron en la enseñanza elemental:

3486.03 = 3 millares + 4 centenas + 8 decenas + 6 unidades + 3 centésimos

Es decir:

3486.03 = 3 × 103 + 4 × 102 + 8 × 101 + 6 × 100 + 0 × 10−1 + 3 × 10−2

El primer “3” significa “tres millares” mientras que el ultimo significa “tres centésimos”, el símbolo “3” tiene un valor diferente dependiendo de su posición dentro del número.

Hay que notar además que cada posición dentro del número esta asociada a una potencia de 10. Algunos sistemas numéricos posiciónales tienen asociada una base1. Así, cada digito tiene un “valor intrínseco” (como el “3” del ejemplo anterior cuyo valor intr´ınseco es justamente 3) y ese valor se multiplica por una potencia de la base del sistema (10 en el ejemplo), el valor del exponente al que se eleva la base crece hacia la izquierda y decrece hacia la derecha.

El valor intrínseco de los dígitos de un sistema posiciona en base b esta en el conjunto

{0, . . . , b − 1}. En nuestro sistema indo-arábigo decimal (es decir, en base 10) los dígitos posibles son los símbolos “0”, “1”, ..., “9”; cuyos valores son, respectivamente, 0 unidades, una unidad, etc.

Así pues, un número x en un sistema posiciona en base b se escribe como una secuencia de dígitos:

x = xnxn−1 . . . x1x0.x−1x−2 . . . x−m

Donde cada digito xi posee un valor intrínseco |xi| en el conjunto {0, . . . , b − 1} (i €

{−m, . . . , n}). El valor del número x, denotado |x|, es:

|x| =Xn

i=−m

|xi| bi (1.0.1)

Mientras mayor sea la potencia de la base asociada a un digito en el número se dice que el digito es más significativo. Así el digitó de la extrema derecha de un número es el menos significativo y el de la extrema izquierda es el más significativo. A partir de este momento denotaremos que el numero x esta escrito en base b como xb y nos avocaremos a tratar con números enteros.

En el ámbito de la computación electrónica son particularmente interesantes los sistemas numéricos posiciónales en las bases 2 (binario), 8 (octal) y 16 (hexadecimal). Esto es porque, como probablemente ha escuchado el lector en repetidas ocasiones, las computadoras electrónicas modernas operan en binario, en ceros y unos (los únicos dos dígitos en un sistema posiciona base 2). Los circuitos digitales de nuestras computadoras solo distinguen cuando hay corriente en una línea y cuando no la hay. Las bases 8 y 16 son interesantes porque es muy fácil traducir la expresión de un numero entre cualesquiera de estas bases y la base 2 y viceversa.

Los dígitos en el sistema posiciona binario, normalmente llamados bits (Binary digITS), son “0” y “1” cuyos valores intrínsecos son, respectivamente 0 y 1. Los dígitos en el sistema octal son:”0”, “1”,..., “7”, y sus valores son: 0, 1,..., 7, respectivamente. En hexadecimal los dígitos son: “0”, “1”,..., “9”, “A”, “B”, “C”, “D”, “E”, “F” y sus valores son: 0, 1,..., 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15, respectivamente.

Nota:

1No en todos los sistemas numéricos posiciónales hay una base asociada. Los mayas usaban un sistema numérico posiciona que “casi” tenia base 20 para representar números relacionados con el calendario. La tercera posición de los números no se multiplicaba por 20 sino por 18.